سلسلة البكالوريا بين يديك في الرياضيات

– ننطلق من وضعيات ذات دلالة تتعلق بالدوال المدروسة فِي السنة الثَّـانِيَة ثانوي، و نهتم فَقَطْ بدوال تكون مجموعة تعريفها معطاة أَوْ سهلة التعيين.
– تدعيم مكتسبات التلاميذ حول مفهوم النهاية فِي وضعيات بسيطة (مثلا النهاية المنتهية عِنْدَ عدد حقيقي ) وتوظيف ذَلِكَ فِي أمثلة بسيطة ثُمَّ توسع إِلَى وضعيات أُخْرَى. ولتوضيح ذَلِكَ، نعتمد عَلَى تمثيلات بيانية باستعمال برمجيات مناسبة كالمجدولات .
كَمَا يمكن توظيف الحاسبة البيانية:
o بإزاحة النافذة نَحْوَ اليسار عِنْدَمَا يؤول إِلَى .
o بإزاحة النافذة نَحْوَ اليمين عِنْدَمَا يؤول إِلَى .
o بإنجاز تَكْبير للنافذة بجوار عِنْدَمَا يؤول إِلَى .
وَذَلِكَ لتخمين نهاية أَوْ المصادقة عَلَيْهَا.
تستغل هَذِهِ المناسبة للتذكير بالمستقيم المقارب الموازي لحامل محور الفواصل.
– تعطي المبرهنات الشهيرة المتعلقة بمجموع و جداء وحاصل قسمة نهايتين دون برهان.(يمكن أن يقدم برهانا عَنْ حالة بسيطة).
– تعطى مبرهنات الحصر (نهاية منتهية، غير منتهية، وَكَذَا المبرهنة الَّتِي تربط الترتيب بَيْنَ دالتين والترتيب بَيْنَ نهايتين).
– حساب نهاية دالة مركبة يطبق فِي الحالة الَّتِي تكون فِيهَا دالة مألوفة.
– تسمح الملاحظة عِنْدَ استعمال برمجيات مناسبة أَوْ حاسبة بيانية بتخمين وجود مستقيم مقارب أَوْ منحن مقارب للمنحني الممثل لدالة ، وتحديد الوضعية النسبية لَهُمَا و تبرر النتائج الملاحظة عَنْ طَرِيقِ الحساب.
– مِنْ أَجْلِ كل عدد حقيقي غير معزول فِي مجموعة تَعْرِيف الدالة ؛ نعرف استمرارية عِنْدَ كَمَا يلي:
– مِنْ خِلَالِ دوال مثل: ، ،
نجعل التلاميذ يلاحظون أن الدالة تكون مستمرة عَلَى مجال، عِنْدَمَا يمكن رسم منحنيها البياني عَلَى هَذَا المجال دون رفع القلم.
– تقترح أمثلة لدوال غير مستمرة مثل: ، مَعَ تمثيلهما بيانيا. حَيْتُ يرمز إِلَى الجزء الصحيح للعدد الحقيقي .
– كل الدوال المألوفة المقررة فِي هَذَا المُسْتَوَى مستمرة عَلَى كل مجال من مجموعة تعريفها.
– لَا تثار مسألة البحث فِي إثبات استمرارية
دالة إلَّا فِي حالات بسيطة.

– التذكير بالنتائج المحصل عَلَيْهَا فِي السنة الثَّـانِيَة.
– ندرس أمثلة حول دوال من مثل: الدوال الناطقة (حاصل قسمة كثير حدود مِنِ الدَّرَجَةِ 2أو3 عَلَى كثير حدود مِنِ الدَّرَجَةِ 1أو2).
– الدوال الصماء ، حَيْتُ دالة قابلة للاشتقاق الدوال المثلثية:
، ، .
– فِيمَا يَخُصُّ الدوال الصماء نتطرق إِلَى المماس الموازي لحامل محور التراتيب.
– يمكن الملاحظة أَنَّ كُلَّ دالة قابلة للاشتقاق عَلَى مجال هِيَ دالة مستمرة عَلَى هَذَا المجال.
– نشرح الكتابات ، (المستعملة فِي الفيزياء) والكتابة .
– يمكن توظيف العلاقة باستعمال مجدول لتقريب دالة تكون حلا لأحدى المعادلات التفاضلية :
، ، .
– ندرج الخواص المعروفة للدوال الأصلية وحسابها المستخلصة انطلاقا من خواص المشتقات.
– نثبت وحدانية الدالة الأصلية لدالة معرفة عَلَى مجال تأخذ قيمة معينة مِنْ أَجْلِ قيمة معلومة من هَذَا المجال عِنْدَمَا نتعرف عَلَى إحْدَى دوالها الأصلية.
– تعرف الدالة الأسية كحل خاص للمعادلة التفاضلية الَّتِي تحقق .
– نبدأ بإنشاء حل تقريبي لِهَذِهِ المعادلة باستخدام مجدول (بتطبيق طريقة أولر) ثُمَّ بعدها نقبل بوجود هَذَا الحل.
– نُقَدِّم هَذِهِ الدالة فِي مرحلة مبكرة مِنَ السَّنَةِ الدراسية قصد توظيفها فِي العلوم الفيزيائية.
– نستنتج من التعريف خواص الدالة الأسية.
،
.
الترميز ، النهايات والمنحني الممثل لَهَا.
– نبين مِنْ أَجْلِ كل عدد حقيقي موجب تماما، أنّ المعادلة تقبل حلا وحيدا نرمز لَهُ بالرمز ، يمكن القول حينئذ أن الدالة هِيَ الدالة العكسية للدالة الأسية، لكن لَا تعطى أي دراسة تفصيلية حول الدالة العكسية.
– تستنتج الخواص الجبرية والتحليلية للدالة اللوغاريتمية من خواص الدالة الأسية .
– تَتِمُّ الإشارة إِلَى أَنَّ المنحنيين الممثلين للدالتين و متناظرين بِالنِسْبَةِ للمنصف الأول فِي المعلم المتعامد والمتجانس وتبرير ذَلِكَ.
– توظف خواص الدوال اللوغاريتمية والأسية لحل معادلات ومتراجحات.
– يعطي تَعْرِيف دالة اللوغاريتم العشري (الَّتِي نرمز إِلَيْهَا بالرمز ) وَيُشَارُ إِلَى أهمية تطبيقاتها فِي المواد الأخرى.
– تدرج دراسة بعض الأمثلة لدوال من الشكل: حَيْتُ( )
حَيْتُ( ) أَوْ (حَيْتُ: و ) بِالنِسْبَةِ لأي شعبة؟
– نقبل العلاقة: مِنْ أَجْلِ كل عددين حقيقيين و حَيْتُ و كيفي.
-نجعل التلميذ يلاحظ، انطلاقا من التمثيلات البيانية للدوال ،
، حَيْتُ عدد طبيعي غير منعدم، أنّ هَذِهِ الدوال تؤول كلّها نَحْوَ عِنْدَمَا ، لكن سلوكها مختلف وَمِنْ ثُمَّّ استنتاج التزايد المقارن لَهَا: فِي اللانهاية، تتفوق الدالة الأسية عَلَى الدالة ” قوة ” والدالة ” قوة ” عَلَى الدالة اللوغاريتم.
فِي هَذَا المجال يمكن استعمال الحاسبة البيانية أَوْ المجدول لتجسيد هَذِهِ السلوكات.
– تقترح متتاليات معرفة باستعمال دالة بعلاقة من الشكل: أَوْ
يتم بِهَذِهِ المناسبة التذكير بالمتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية.
– فِي دراسة نهايات المتتاليات تطبق النتائج المحصل عَلَيْهَا فِي السنة الثَّـانِيَة أوالمبرهنات المعروفة عَلَى الدوال عِنْدَمَا يؤول إِلَى .
– عِنْدَمَا تقبل الدالة نهاية عِنْدَمَا يؤول المتغير إِلَى فَإِنَّ المتتالية المعرفة بالعلاقة تقبل نفس النهاية عِنْدَمَا يؤول إِلَى (ننبه أن العكس غير صحيح).
– تعطى أمثلة عَنْ دوال محدودة من الأَعْلَى (بالقيمة المطلقة) بمتتالية هندسية متقاربة.
– مِنْ خِلَالِ أمثلة، ندرس تقارب المتتاليات من الشكل خاصة عِنْدَمَا تكون الدالة تآلفية ( )،
وَفِي هَذِهِ الحالة نناقش سلوك المتتالية حَسَبَ قيم العددين الحقيقيين و .
– يعطى تَعْرِيف متتاليتين متجاورتين وتقبل النظرية الَّتِي تنصّ عَلَى أَنَّهُ إِذَا كَانَت متتاليتان متجاورتين فإنهما تتقاربان إِلَى نفس النهاية ويستثمر ذَلِكَ لحصر ثُمَّّ حساب مساحة الحيز تحت المنحنى الممثل لدالة.
– يتم مقاربة مفهوم التكامل بحساب مساحات لأشكال هندسية معروفة (مستطيل، مثلث فِي وضعيات مختلفة، شبه منحرف)
مثلا: حساب مساحة الحيز المستوي تحت المنحني الممثل لدالة مستمرة وموجبة عَلَى مجال أي مجموعة النقط حَيْتُ و . ثُمَّ نقارن النتيجة بالعدد حَيْتُ هِيَ دالة أصلية للدالة
نأخذ دالة مستمرة وموجبة فِي وضعيات أولية:
1) ثابتة (مساحة مستطيل)
2) تآلفية (مثلث أَوْ شبه منحرف)
– نعرف العدد بالفرق وَنَقْرَأُ “التكامل من إِلَى لـ تفاضل ” وَهُوَ يمثل مساحة الحيز المستوي المحدد بمنحني الدالة والمستقيمات الَّتِي معادلاتها ، ، فِي المستوي المنسوب إِلَى معلم متعامد.
– ندرج خواص التكامل فِي حالة موجبة والمتعلقة :
• بعلاقة شال ونتائجها.
• بالخطية:
• بالمقارنة: إِذَا كَانَت فَإِنَّ
• بالقيمة المتوسطة لدالة:
• حصر القيمة المتوسطة:إِذَا كَانَت عَلَى مجال فَإِنَّ
– بعد التعرف عَلَى الخواص السابقة يتم التعميم شيئا فشيئا مِنْ أَجْلِ:
• سالبة حَيْتُ:
• تغير إشارتها.

• إشارة العدد بدلالة إشارة عَلَى المجال